A. Trigonometri: Identitas, Persamaan, dan Aplikasi
Trigonometri adalah cabang matematika yang mempelajari hubungan antara sudut dan sisi pada segitiga. Di kelas 11 semester 2, fokus utama adalah pada identitas trigonometri, persamaan trigonometri, dan aplikasinya dalam menyelesaikan masalah.
1. Identitas Trigonometri Dasar
Identitas trigonometri adalah persamaan yang selalu benar untuk semua nilai variabel yang didefinisikan. Beberapa identitas dasar yang perlu dikuasai adalah:
-
Identitas Kebalikan:
- sin θ = 1/csc θ
- cos θ = 1/sec θ
- tan θ = 1/cot θ
-
Identitas Hasil Bagi:
- tan θ = sin θ/cos θ
- cot θ = cos θ/sin θ
-
Identitas Pythagoras:
- sin² θ + cos² θ = 1
- 1 + tan² θ = sec² θ
- 1 + cot² θ = csc² θ
Contoh Soal:
Buktikan identitas berikut: (1 + tan² θ) cos² θ = 1
Penyelesaian:
(1 + tan² θ) cos² θ = (sec² θ) cos² θ (menggunakan identitas Pythagoras)
= (1/cos² θ) cos² θ (menggunakan identitas kebalikan)
= 1
2. Identitas Trigonometri Jumlah dan Selisih Sudut
Identitas ini digunakan untuk menyatakan fungsi trigonometri dari jumlah atau selisih dua sudut dalam bentuk fungsi trigonometri sudut-sudut tersebut.
- sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
- sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B
- cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
- cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B
- tan (A + B) = (tan A + tan B) / (1 – tan A tan B)
- tan (A – B) = (tan A – tan B) / (1 + tan A tan B)
Contoh Soal:
Tentukan nilai dari sin 75° menggunakan identitas jumlah sudut.
Penyelesaian:
sin 75° = sin (45° + 30°)
= sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°
= (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2)
= (√6 + √2) / 4
3. Identitas Trigonometri Sudut Ganda dan Setengah Sudut
Identitas ini digunakan untuk menyatakan fungsi trigonometri dari sudut ganda (2θ) atau setengah sudut (θ/2) dalam bentuk fungsi trigonometri sudut θ.
- sin 2θ = 2 sin θ cos θ
- cos 2θ = cos² θ – sin² θ = 2 cos² θ – 1 = 1 – 2 sin² θ
- tan 2θ = (2 tan θ) / (1 – tan² θ)
- sin (θ/2) = ±√((1 – cos θ) / 2)
- cos (θ/2) = ±√((1 + cos θ) / 2)
- tan (θ/2) = ±√((1 – cos θ) / (1 + cos θ)) = (1 – cos θ) / sin θ = sin θ / (1 + cos θ)
Contoh Soal:
Jika cos θ = 3/5 dan θ berada di kuadran IV, tentukan nilai dari sin 2θ.
Penyelesaian:
Karena θ berada di kuadran IV, maka sin θ negatif.
sin θ = -√(1 – cos² θ) = -√(1 – (3/5)²) = -√(1 – 9/25) = -√(16/25) = -4/5
sin 2θ = 2 sin θ cos θ = 2 (-4/5) (3/5) = -24/25
4. Persamaan Trigonometri
Persamaan trigonometri adalah persamaan yang melibatkan fungsi trigonometri dari suatu variabel. Menyelesaikan persamaan trigonometri berarti mencari nilai-nilai variabel yang memenuhi persamaan tersebut.
-
Persamaan Trigonometri Dasar:
- sin x = sin α => x = α + k.360° atau x = (180° – α) + k.360°
- cos x = cos α => x = α + k.360° atau x = -α + k.360°
- tan x = tan α => x = α + k.180°
(k adalah bilangan bulat)
-
Persamaan Trigonometri Kompleks: Persamaan yang melibatkan identitas trigonometri atau memerlukan manipulasi aljabar untuk disederhanakan menjadi bentuk dasar.
Contoh Soal:
Selesaikan persamaan sin x = 1/2 untuk 0° ≤ x ≤ 360°.
Penyelesaian:
sin x = 1/2 => x = 30° + k.360° atau x = (180° – 30°) + k.360°
Untuk k = 0: x = 30° atau x = 150°
Untuk k = 1: x = 390° (tidak memenuhi) atau x = 510° (tidak memenuhi)
Jadi, solusi persamaan adalah x = 30° dan x = 150°.
5. Aplikasi Trigonometri
Trigonometri memiliki banyak aplikasi dalam berbagai bidang, termasuk:
- Navigasi: Menentukan posisi dan arah.
- Survey: Mengukur jarak dan ketinggian.
- Fisika: Menganalisis gerak harmonik dan gelombang.
- Teknik: Merancang struktur dan mesin.
Contoh Soal:
Sebuah menara memiliki tinggi 50 meter. Seorang pengamat berdiri pada jarak tertentu dari kaki menara dan melihat puncak menara dengan sudut elevasi 30°. Tentukan jarak pengamat dari kaki menara.
Penyelesaian:
Misalkan jarak pengamat dari kaki menara adalah x.
tan 30° = tinggi menara / jarak pengamat
1/√3 = 50 / x
x = 50√3 meter
B. Lingkaran: Persamaan, Garis Singgung, dan Irisan
Lingkaran adalah himpunan semua titik yang berjarak sama dari suatu titik tetap yang disebut pusat. Di kelas 11 semester 2, fokus utama adalah pada persamaan lingkaran, garis singgung lingkaran, dan irisan lingkaran dengan garis atau lingkaran lain.
1. Persamaan Lingkaran
-
Persamaan Lingkaran dengan Pusat (0, 0) dan Jari-jari r:
x² + y² = r² -
Persamaan Lingkaran dengan Pusat (a, b) dan Jari-jari r:
(x – a)² + (y – b)² = r²
Contoh Soal:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (2, -3) dan memiliki jari-jari 4.
Penyelesaian:
(x – 2)² + (y + 3)² = 4²
(x – 2)² + (y + 3)² = 16
2. Garis Singgung Lingkaran
Garis singgung lingkaran adalah garis yang menyentuh lingkaran di satu titik.
-
Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien m di Titik (x₁, y₁) pada Lingkaran x² + y² = r²:
y = mx ± r√(1 + m²) -
Garis Singgung Lingkaran di Titik (x₁, y₁) pada Lingkaran (x – a)² + (y – b)² = r²:
(x – a)(x₁ – a) + (y – b)(y₁ – b) = r²
Contoh Soal:
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 25 yang memiliki gradien 3.
Penyelesaian:
y = 3x ± 5√(1 + 3²)
y = 3x ± 5√10
3. Irisan Lingkaran dengan Garis atau Lingkaran Lain
Untuk menentukan titik potong antara lingkaran dan garis atau lingkaran lain, kita dapat menyelesaikan sistem persamaan yang terdiri dari persamaan lingkaran dan persamaan garis atau lingkaran lain.
Contoh Soal:
Tentukan titik potong antara lingkaran x² + y² = 25 dan garis y = x + 1.
Penyelesaian:
Substitusikan y = x + 1 ke dalam persamaan lingkaran:
x² + (x + 1)² = 25
x² + x² + 2x + 1 = 25
2x² + 2x – 24 = 0
x² + x – 12 = 0
(x + 4)(x – 3) = 0
x = -4 atau x = 3
Jika x = -4, maka y = -4 + 1 = -3
Jika x = 3, maka y = 3 + 1 = 4
Jadi, titik potongnya adalah (-4, -3) dan (3, 4).
C. Kesimpulan
Materi trigonometri dan lingkaran di kelas 11 semester 2 sangat penting untuk dipahami dengan baik. Dengan menguasai konsep-konsep dasar dan banyak berlatih soal, siswa akan lebih siap menghadapi ujian dan aplikasi matematika dalam kehidupan sehari-hari. Pemahaman yang kuat tentang identitas trigonometri, persamaan lingkaran, dan garis singgung akan sangat membantu dalam menyelesaikan berbagai masalah matematika yang lebih kompleks di masa depan.
