Kalkulus 1: Landasan Fundamental dalam Pemodelan Matematika
I. Sistem Bilangan Real dan Pertidaksamaan
A. Himpunan Bilangan Real:
1. **Bilangan Asli (ℕ):** Bilangan bulat positif yang dimulai dari 1 (1, 2, 3, ...). Digunakan untuk menghitung objek diskrit.
2. **Bilangan Bulat (ℤ):** Meliputi bilangan asli, nol, dan bilangan negatif (-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...). Memungkinkan representasi kuantitas negatif.
3. **Bilangan Rasional (ℚ):** Bilangan yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat (a/b, di mana b ≠ 0). Meliputi semua bilangan bulat dan pecahan. Contoh: 1/2, -3/4, 5.
4. **Bilangan Irrasional:** Bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat. Representasi desimalnya tidak berulang dan tidak berakhir. Contoh: √2, π, e.
5. **Bilangan Real (ℝ):** Gabungan dari bilangan rasional dan irrasional. Mencakup semua bilangan yang dapat diukur atau diwakili pada garis bilangan.B. Sifat-Sifat Bilangan Real:
1. **Sifat Komutatif:** a + b = b + a dan a * b = b * a (urutan tidak mempengaruhi hasil).
2. **Sifat Asosiatif:** (a + b) + c = a + (b + c) dan (a * b) * c = a * (b * c) (pengelompokan tidak mempengaruhi hasil).
3. **Sifat Distributif:** a * (b + c) = a * b + a * c (perkalian didistribusikan ke penjumlahan).
4. **Elemen Identitas:** Ada 0 sehingga a + 0 = a dan ada 1 sehingga a * 1 = a.
5. **Elemen Invers:** Untuk setiap a, ada -a sehingga a + (-a) = 0 dan untuk setiap a ≠ 0, ada 1/a sehingga a * (1/a) = 1.C. Pertidaksamaan:
1. **Definisi:** Pernyataan matematika yang membandingkan dua ekspresi menggunakan simbol < (kurang dari), > (lebih dari), ≤ (kurang dari atau sama dengan), atau ≥ (lebih dari atau sama dengan).
2. **Sifat-Sifat Pertidaksamaan:**
* Jika a < b, maka a + c < b + c (menambahkan bilangan yang sama ke kedua sisi).
* Jika a < b dan c > 0, maka a * c < b * c (mengalikan dengan bilangan positif yang sama).
* Jika a < b dan c < 0, maka a * c > b * c (mengalikan dengan bilangan negatif yang sama, membalik tanda).
* Jika a < b, maka -a > -b (mengalikan dengan -1, membalik tanda).
3. **Penyelesaian Pertidaksamaan:** Mencari semua nilai variabel yang memenuhi pertidaksamaan. Melibatkan manipulasi aljabar untuk mengisolasi variabel.
4. **Pertidaksamaan Nilai Mutlak:** Melibatkan ekspresi nilai mutlak (|x|). Penyelesaian melibatkan pemecahan menjadi dua kasus: x ≥ 0 dan x < 0.
* |x| < a ekuivalen dengan -a < x < a
* |x| > a ekuivalen dengan x < -a atau x > aD. Interval:
1. **Interval Terbuka:** (a, b) = x ∈ ℝ (tidak termasuk titik ujung a dan b).
2. **Interval Tertutup:** [a, b] = x ∈ ℝ (termasuk titik ujung a dan b).
3. **Interval Setengah Terbuka/Tertutup:** (a, b] = x ∈ ℝ atau [a, b) = x ∈ ℝ .
4. **Interval Tak Terhingga:** (a, ∞) = x ∈ ℝ , (-∞, b) = x < b, [a, ∞) = x ≥ a, (-∞, b] = x ∈ ℝ , (-∞, ∞) = ℝ.II. Fungsi
A. Definisi Fungsi: Relasi antara dua himpunan (domain dan range) sedemikian sehingga setiap elemen di domain dipetakan ke tepat satu elemen di range.
1. **Domain:** Himpunan semua input yang mungkin untuk fungsi.
2. **Range:** Himpunan semua output yang mungkin dari fungsi.
3. **Variabel Bebas (x):** Variabel yang nilainya dapat dipilih secara bebas (input).
4. **Variabel Terikat (y atau f(x)):** Variabel yang nilainya bergantung pada nilai variabel bebas (output).B. Cara Menyatakan Fungsi:
1. **Persamaan:** y = f(x) (misalnya, y = x² + 1).
2. **Grafik:** Representasi visual fungsi pada bidang koordinat.
3. **Tabel:** Daftar pasangan input-output.
4. **Deskripsi Verbal:** Penjelasan tentang bagaimana fungsi bekerja.C. Jenis-Jenis Fungsi:
1. **Fungsi Aljabar:** Fungsi yang dapat dinyatakan menggunakan operasi aljabar (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan akar).
* **Fungsi Polinomial:** f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ (contoh: f(x) = x² + 2x - 3).
* **Fungsi Rasional:** f(x) = p(x) / q(x), di mana p(x) dan q(x) adalah polinomial (contoh: f(x) = (x + 1) / (x - 2)).
* **Fungsi Irrasional:** Fungsi yang mengandung akar (contoh: f(x) = √x).
2. **Fungsi Transenden:** Fungsi yang bukan aljabar (contoh: fungsi trigonometri, eksponensial, dan logaritmik).
* **Fungsi Trigonometri:** sin(x), cos(x), tan(x), csc(x), sec(x), cot(x).
* **Fungsi Eksponensial:** f(x) = aˣ, di mana a > 0 dan a ≠ 1.
* **Fungsi Logaritmik:** f(x) = logₐ(x), di mana a > 0 dan a ≠ 1.D. Operasi pada Fungsi:
1. **Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian, dan Pembagian:** (f + g)(x) = f(x) + g(x), (f - g)(x) = f(x) - g(x), (f * g)(x) = f(x) * g(x), (f / g)(x) = f(x) / g(x) (dengan g(x) ≠ 0).
2. **Komposisi Fungsi:** (f ∘ g)(x) = f(g(x)) (menerapkan g terlebih dahulu, kemudian f).E. Fungsi Ganjil dan Genap:
1. **Fungsi Genap:** f(-x) = f(x) (simetris terhadap sumbu y). Contoh: f(x) = x².
2. **Fungsi Ganjil:** f(-x) = -f(x) (simetris terhadap titik asal). Contoh: f(x) = x³.F. Transformasi Fungsi:
1. **Translasi Vertikal:** y = f(x) + c (geser ke atas jika c > 0, ke bawah jika c < 0).
2. **Translasi Horizontal:** y = f(x - c) (geser ke kanan jika c > 0, ke kiri jika c < 0).
3. **Refleksi terhadap Sumbu X:** y = -f(x).
4. **Refleksi terhadap Sumbu Y:** y = f(-x).
5. **Peregangan/Penskalaan Vertikal:** y = a * f(x) (meregangkan jika |a| > 1, memampatkan jika 0 < |a| < 1).
6. **Peregangan/Penskalaan Horizontal:** y = f(a * x) (memampatkan jika |a| > 1, meregangkan jika 0 < |a| < 1).III. Limit
A. Konsep Limit: Nilai yang didekati oleh suatu fungsi ketika input mendekati suatu nilai tertentu.
1. **Limit Secara Intuisi:** Jika f(x) mendekati L ketika x mendekati c, maka limit f(x) ketika x mendekati c adalah L, ditulis lim (x→c) f(x) = L.
2. **Definisi Formal (ε-δ):** Untuk setiap ε > 0, terdapat δ > 0 sedemikian sehingga jika 0 < |x - c| < δ, maka |f(x) - L| < ε.B. Limit Sepihak:
1. **Limit Kiri:** lim (x→c⁻) f(x) (x mendekati c dari kiri).
2. **Limit Kanan:** lim (x→c⁺) f(x) (x mendekati c dari kanan).
3. **Keberadaan Limit:** Limit lim (x→c) f(x) ada jika dan hanya jika limit kiri dan limit kanan ada dan sama.C. Sifat-Sifat Limit:
1. **Limit Konstanta:** lim (x→c) k = k (di mana k adalah konstanta).
2. **Limit Identitas:** lim (x→c) x = c.
3. **Limit Jumlah/Selisih:** lim (x→c) [f(x) ± g(x)] = lim (x→c) f(x) ± lim (x→c) g(x).
4. **Limit Perkalian:** lim (x→c) [f(x) * g(x)] = lim (x→c) f(x) * lim (x→c) g(x).
5. **Limit Pembagian:** lim (x→c) [f(x) / g(x)] = lim (x→c) f(x) / lim (x→c) g(x) (dengan lim (x→c) g(x) ≠ 0).
6. **Limit Pangkat:** lim (x→c) [f(x)]ⁿ = [lim (x→c) f(x)]ⁿ.
7. **Limit Akar:** lim (x→c) ⁿ√f(x) = ⁿ√lim (x→c) f(x).D. Teknik Menghitung Limit:
1. **Substitusi Langsung:** Jika f(x) kontinu di x = c, maka lim (x→c) f(x) = f(c).
2. **Faktorisasi:** Memfaktorkan ekspresi untuk menghilangkan faktor yang menyebabkan bentuk tak tentu (0/0).
3. **Merasionalkan:** Mengalikan dengan konjugat untuk menghilangkan akar di pembilang atau penyebut.
4. **Menyederhanakan Ekspresi:** Menggabungkan pecahan atau menyederhanakan ekspresi aljabar.E. Limit Tak Hingga:
1. **Limit Menuju Tak Hingga:** lim (x→∞) f(x) atau lim (x→-∞) f(x).
2. **Limit Tak Hingga:** lim (x→c) f(x) = ∞ atau lim (x→c) f(x) = -∞.F. Asimtot:
1. **Asimtot Vertikal:** Garis x = c sedemikian sehingga lim (x→c⁺) f(x) = ±∞ atau lim (x→c⁻) f(x) = ±∞.
2. **Asimtot Horizontal:** Garis y = L sedemikian sehingga lim (x→∞) f(x) = L atau lim (x→-∞) f(x) = L.IV. Kontinuitas
A. Definisi Kontinuitas: Fungsi f(x) kontinu di x = c jika dan hanya jika:
1. f(c) terdefinisi.
2. lim (x→c) f(x) ada.
3. lim (x→c) f(x) = f(c).B. Jenis-Jenis Diskontinuitas:
1. **Diskontinuitas yang Dapat Dihilangkan (Removable Discontinuity):** Limit ada, tetapi f(c) tidak terdefinisi atau tidak sama dengan limit.
2. **Diskontinuitas Lompat (Jump Discontinuity):** Limit kiri dan kanan ada, tetapi tidak sama.
3. **Diskontinuitas Tak Hingga (Infinite Discontinuity):** Limit kiri atau kanan menuju tak hingga.C. Kontinuitas pada Interval:
1. **Kontinuitas pada Interval Tertutup [a, b]:** f(x) kontinu dari kanan di a (lim (x→a⁺) f(x) = f(a)) dan kontinu dari kiri di b (lim (x→b⁻) f(x) = f(b)), dan kontinu di setiap titik di antara a dan b.D. Sifat-Sifat Kontinuitas:
1. Jika f(x) dan g(x) kontinu di x = c, maka f(x) + g(x), f(x) - g(x), f(x) * g(x), dan f(x) / g(x) (dengan g(c) ≠ 0) juga kontinu di x = c.
2. Komposisi fungsi kontinu: Jika g(x) kontinu di x = c dan f(x) kontinu di g(c), maka f(g(x)) kontinu di x = c.E. Teorema Nilai Tengah (Intermediate Value Theorem): Jika f(x) kontinu pada interval tertutup [a, b] dan k adalah nilai antara f(a) dan f(b), maka terdapat setidaknya satu bilangan c di antara a dan b sedemikian sehingga f(c) = k.
